Abstract
En aquesta xerrada començarem introduint la noció de capacitat analítica així com algunes de les seves propietats essencials. Utilitzant aquest concepte identifiquem la família de subconjunts evitables del pla complex, que són aquells tals que, per a qualsevol funció holomorfa fitada definida en el seu complementari, permeten estendre-la analíticament a tot el pla. A partir d’aquí, discutim una possible caracterització geomètrica per a subconjunts evitables, una qüestió popularment coneguda com el problema de Painlevé. L’estudi anterior es realitza en termes de la dimensió de Hausdorff d’aquests subconjunts, obtenint una classificació completa per a valors diferents d’1. El cas restant, l’associat a la dimensió crítica de la capacitat analítica, s’ha de tractar a part. És en aquest punt quan invoquem la teoria d’integrals singulars per tal d’estudiar una subfamília d’aquests subconjunts: els continguts en gràfiques de funcions Lipschitz. Acabarem donant unes pinzellades del tractament d’aquest cas, introduit per Arnaud Denjoy a principis del segle XX.
