16:45 – 18:00
Sistemes d’enllaç subcèntrics
Paula González Sáez (UB)
Els sistemes d’enllaç són eines crucials per estudiar la teoria de l’homotopia dels sistemes de fusió, alhora que són de profund interès des d’una perspectiva purament algebraica. Tanmateix, els axiomes clàssics que defineixen aquestes categories restringeixen els objectes als subgrups quasicèntrics, fet que limita la flexibilitat estructural de la teoria.
Per fer front a aquesta limitació, E. Henke va proposar ampliar el conjunt d’objectes a una classe més àmplia de subgrups: els subgrups subcèntrics. Utilitzant el marc de les localitats, Henke va establir que cada sistema de fusió saturat admet un únic sistema d’enllaç subcèntric associat, llevat d’isomorfisme. En aquesta tesi, traduïm els resultats de Henke al llenguatge categòric clàssic, evitant així la maquinària dels grups parcials i de les localitats. A més, oferim una construcció categòrica explícita d’un sistema d’enllaç subcèntric per als sistemes de fusió realitzables (és a dir, els sistemes de fusió de grups finits).
Teoria matemàtica de les propietats magneto-òptiques de la matèria bidimensional de van der Waals i topològica
Joan Pérez Alemany (UV-UPV)
Aquesta tesi formula una teoria matemàtica exhaustiva que regeix la resposta magnètica macroscòpica dels excitons en materials topològics de baixa dimensió, abordant les limitacions del marc de Bloch de partícules independents. La principal contribució original és una derivació rigorosa i invariant per gauge del moment magnètic excitonic generalitzat, obtinguda directament a partir del hamiltonià de l’equació de Bethe-Salpeter (BSE) per a sistemes de molts cossos amb interaccions. Mitjançant la introducció de coeficients de ponderació per massa en un esquema de regularització de camp periòdic, aquest treball resol amb èxit les singularitats distribucionals de l’operador de posició, desacoblant formalment el moviment intern relatiu del parell electró-forat de la dinàmica macroscòpica del seu centre de masses. A més, la tesi estableix cotes superiors geomètriques i cotes inferiors topològiques completament inèdites per a aquests moments magnètics excitònics, demostrant que estan estrictament restringits pel tensor geomètric quàntic de les bandes constituents; en concret, vincula els límits de la resposta magnètica amb la mètrica quàntica fonamental i el nombre topològic de Chern. Aquestes cotes fonamentals, validades analíticament mitjançant un model de Dirac massiu bidimensional resoluble, proporcionen referències teòriques crucials per acotar els errors de truncament numèric en metodologies computacionals i ofereixen vies matemàtiques predictives per al disseny de materials quàntics optoelectrònics i de valletrònica de nova generació.
Teoria KAM per òrbites periòdiques
Laura Cara Sala (UB)
L’enfocament clàssic per analitzar òrbites periòdiques i el seu comportament és la teoria de Floquet. Aquesta permet linealitzar el sistema al voltant de l’òrbita periòdica per reduir l’estudi d’estabilitat local a un sistema lineal amb coeficients periòdics.
Seguint la idea de Moore d’utilitzar la teoria de Floquet per estudiar òrbites periòdiques, en el meu treball de final de màster vam desenvolupar un marc teòric per a la convergència d’un mètode de convergència de tipus Newton en un sistema amb una òrbita periòdica, demostrant l’existència d’aquesta última amb un error explícit calculat. En aquest treball, adaptem tècniques analítiques de la teoria KAM aplicant un petit esquema iteratiu KAM en termes de pèrdua de part del domini analític de definició a canvi de trobar l’òrbita periòdica
Com a resultat principal del treball, presentem un teorema de convergència que prova l’existència d’òrbites periòdiques quan l’error inicial és prou petit. Aquest teorema pot ser aplicat a les anomenades computer-assisted proofs (proves assistides per ordinador) per demostrar l’existència d’òrbites periòdiques.