16:00 – 17:00
Una introducció a la integració estocàstica
Salim Boukfal (UB)
L’objectiu d’aquest treball és estendre la noció d’integral estocàstica respecte del moviment Brownià, estudiada a l’assignatura de Càlcul Estocàstic del Màster en Matemàtica Avançada de la UB, a processos més generals com són les martingales. Un cop feta aquesta tasca, veiem com podem definir integrals respecte camps aleatoris (processos que poden dependre de més d’un paràmetre), començant pel soroll blanc Gaussià i, finalment, passant a mesures de martingala. A part de fer les construccions pertinents, també es presenten un parell de resultats d’aproximació en llei on provem que la llei de la integral estocàstica respecte del moviment Brownià o del soroll blanc Gaussià (en dues dimensions) es poden aproximar per integrals respecte passeigs aleatoris en una o dues dimensions, respectivament.
Equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari
Òscar Burés (UB)
El treball és un estudi general d’equacions diferencials estocàstiques (SDEs) dirigides per un moviment Brownià fraccionari (fBm) amb índex de Hurst major que 1/2. Primerament, es defineix la integral estocàstica respecte del fBm i s’estudia l’existència i unicitat de solucions de SDEs generals. Després, fent servir Càlcul de Malliavin adaptat al fBm s’estudia la continuitat absoluta de la llei de la solució a una SDE general. Per últim, fent servir tècniques de Càlcul de Malliavin més potents, s’aconsegueix donar fites Gaussianes de la densitat de les solucions d’una família de SDEs.
Regularitat de fronteres lliure Lipschitz en el problema d’Alt-Caffarelli
Joan Domingo Pasarin (UB)
En aquest treball estudiem la regularitat de les fronteres lliures Lipschitz en el problema d’Alt-Caffarelli. Demostrem que aquestes són C1,α fent ús de la invariància per reescalament del problema i la regularitat Lipschitz inicial de la frontera. A més, també mostrem que les fronteres C1,α són C∞, cosa que, combinada amb el resultat anterior, implica que les fronteres lliures Lipschitz són C∞.
Bretxa espectral dels models de bossa de l’MIT generalitzats
Joaquim Duran i Lamiel (UPC)
Estudiem propietats espectrals dels models generalitzats de MIT. Aquests són operadors de Dirac actuant en dominis de ℝ3 amb condicions de frontera que generen confinament. El seu autovalor positiu més baix és d’especial interès, i s’ha conjecturat que és mínim per a una bola entre tots els dominis amb volum fixat.
17:30 – 18:30
Teoria unificada de la dinàmica de presa de decisions: perspectives de control òptim i d’horitzó infinit
Flàvia Ferrús (UB)
L’objectiu principal d’aquest projecte és desenvolupar un marc teòric unificador del control motor i la presa de decisions. Amb aquesta finalitat, primerament es presenta una introducció al càlcul variacional i la teoria del control òptim per tal de construir una base teòrica sòlida com a mitjà per entendre la dinàmica del sistema. Tot seguit i en base al context teòric presentat, es proposa un sistema dinàmic lineal generador com a aproximació al sistema físic estudiat. Posteriorment, es desenvolupa un model seqüencial per tal de realitzar la predicció i simulació de trajectòries, aproximant les experimentals a partir de la formulació d’Horitzó Infinit. Donada la complexitat de trobar una solució analítica exacta per al sistema dinàmic considerat, el filtre de Kalman es presenta i s’estudia com un mètode precís per trobar les millors estimacions per al vector d’estat real dels perfils de posició i velocitat.
En les conques d’atracció dels algoritmes de cerca d’arrels
David Rosado Rodríguez (UB)
Els algoritmes de cerca d’arrels han estat històricament utilitzats per resoldre numèricament equacions no lineals de la forma f(x)=0. El mètode de Newton, una de les tècniques més conegudes, va començar a ser analitzat com a sistema dinàmic al pla complex a finals del segle XIX. Aquest treball explora la dinàmica dels mètodes de la família Traub parametritzada Tp,δ aplicada a polinomis. Aquests mètodes inclouen un ventall des del mètode de Newton (δ=0) fins al mètode de Traub (δ=1). El nostre enfocament rau a investigar diverses propietats topològiques de les conques d’atracció, particularment la seva simple connectivitat i la no acotació, que són crucials per identificar un conjunt universal de condicions inicials que assegurin la convergència a totes les arrels de p. Mentre que aquestes propietats topològiques ja estan demostrades pel mètode de Newton (δ=0), romanen obertes per a δ≠0. Presentem resultats que contribueixen a abordar aquest problema obert, incloent-hi una demostració per casos on δ és proper a 0 i per a la família de polinomis pd(z)=z(zd-1).
Mòduls de branques planes amb un únic exponent característic
María de Leyva Elola-Olaso (UPC)
Estudiem l’espai mòdul de branques planes amb un únic exponent característic mitjançant una estratificació utilitzant el semimòdul de valors de l’ideal jacobià de la branca. En particular, estudiem com abordar el problema mitjançant diferents tècniques. En primer lloc, proporcionem un procediment algorítmic basat en el procediment de Casas-Alvero, que, sota algunes suposicions, descriu els estrats. Incloem una implementació a Maple d’aquest algorisme. A més, comparem la nostra estratificació amb una estudiada prèviament per Peraire a l’any 1998 a partir de l’invariant de Zariski. Això ens permet fer algunes reflexions sobre els reptes de calcular la dimensió dels nostres estrats, que perfeccionen els estrats de Peraire, i presentar algunes noves eines per abordar el problema.
Tècniques geomètriques en monogeneïcitat
Francesc Pedret (UPC)
Un cos de nombres K és monogen si el seu anell d’enters està generat per un sol element com a ℤ-àlgebra. En el cas cúbic, determinar si K és monogen o no és equivalent a resoldre l’equació diofàntica |IK(X,Y)| = 1 sobre ℤ, on IK és la forma índex del cos. Una solució entera determina un punt racional a la corba de gènere 1, IK(X,Y) = Z3. Mitjançant aquesta construcció, es pot demostrar que un cos cúbic K amb discriminant D determina una 𝔽3-òrbita en H1(ℚ, E[3]), on E és la corba el·líptica definida per Y2 = 4X3 + D.
Donem la construcció explícita d’aquesta òrbita pel cas de cossos cúbics purs i caracteritzem la suma de cocicles associats a cossos no isomorfs.
Ideals d’arrels pe–èsimes de corbes al pla en característica positiva
Pedro López Sancha (UPC)
L’estudi de les singularitats en varietats algebraiques ha estat un camp de recerca pròsper i s’ha convertit en un focus central en la geometria algebraica moderna. Un enfocament comú per entendre aquestes singularitats és adjuntant invariants que les caracteritzen.
En aquest projecte, calculem diversos invariants de singularitats en corbes planes definides sobre camps de característica positiva i les comparem amb les seves contraparts en característica zero.
