Resum
Un dels conceptes principals de la teoria geomètrica de la mesura és el de conjunt rectificable, i un dels seus objectius principals és caracteritzar-los mitjançant propietats geomètriques o analítiques. Una possible caracterització és en termes de les densitats. Donats enters 0 < d < n i un conjunt E de Rn, es defineix la d-densitat inferior de E en un punt x de Rn com el límit inferior quan r tendeix a 0 del quocient entre la mesura de Hausdorff d-dimensional de E ∩ B(x,r), que denotem H(E ∩ B(x,r)), i (2r)^d. El 1938, Besicovitch va demostrar que donat un conjunt E del pla R2, si la 1-densitat inferior d’E és estrictament major que 3/4 en gairebé tots els seus punts, llavors E és 1-rectificable. També va donar un exemple de conjunt purament 1-no rectificable del pla R2, amb densitat inferior igual a 1/2 en gairebé tots els seus punts.
En aquesta presentació, exposem una generalització a dimensions arbitràries de l’exemple introduït originalment per Besicovitch. D’aquesta manera, obtenim un conjunt purament d-no rectificable en Rd+1 amb d-densitat inferior igual a 1/2 en gairebé tots els seus punts. Això estableix la cota inferior 1/2 per al valor mínim S tal que si la d-densitat inferior d’un conjunt E és estrictament major que S en tots els seus punts, llavors E és d-rectificable.