Comunicacions

16:00 – 17:00

Densitats per la mesura de Hausdorff i rectificabilitat. La conjectura 1/2 de Besicovitch

Jaume Capdevila (UB)

En aquest treball estudiem dos conceptes centrals de la teoria geomètrica de la mesura: les densitats per a la mesura de Hausdorff i els conjunts rectificables. En particular, ens centrem en un aspecte concret de la relació entre aquests dos conceptes, la conjectura-1/2 de Besicovitch. Presentem la teoria desenvolupada per Besicovitch als seus articles pioners publicats el 1938 i 1939, per demostrar la caracterització en el pla de la rectificabilitat en termes de les densitats. També estudiem l’article de Preiss i Tišer publicat el 1988, que va millorar els resultats coneguts prèviament sobre la conjectura. Finalment, presentem dues contribucions originals. Primer, generalitzem a l’espai euclidià ℝⁿ un exemple de conjunt de punts en el pla construït originalment per Besicovitch i en demostrem les propietats principals, estenent així una cota inferior de la conjectura a dimensió arbitrària. Segon, demostrem utilitzant només les densitats que si un conjunt E del pla és purament 1-no-rectificable, aleshores el producte cartesià E×J amb un interval J és purament 2-no-rectificable, sempre que s’assumeixi certa la conjectura-1/2 de Besicovitch.

Explorant els principis de la coexistència en la “invader-driven replicator equation”

Marina Garcia (UPC)

La “replicator equation”, introduïda originalment a la teoria de jocs evolutiva, s’ha aplicat àmpliament en biologia per modelar la dinàmica complexa de sistemes formats per moltes espècies, com les comunitats ecològiques multiespècie o els patògens microbians multisoca. En aquest treball, utilitzem la “replicator equation” per explorar una de les qüestions fonamentals de la biologia evolutiva i l’ecologia, que és com es genera i es manté la biodiversitat, centrant-nos en els sistemes “invader-driven”, en els quals les interaccions o “fitnesses” de les espècies estan definides per l’espècie invasora, independentment de l’espècie envaïda. Amb l’objectiu de relacionar les “fitnesses” amb les identitats i el número d’espècies supervivents als estats d’equilibri, trobem el mecanisme que regeix la selecció del conjunt final d’espècies supervivents mitjançant simulacions numèriques i anàlisi, el qual condueix a la maximització de la resistència del sistema envers les invasions externes.

Preduals únics i objectes lliures en espais de Banach

Mario Guillén (UV-UPV)

Investiguem quan un espai de Banach té un predual de Banach únic. En primer lloc, explorem l’existència i la unicitat de preduals en diversos tipus d’espais. En el cas dels espais de funcions de Lipschitz, revisem els resultats actuals i esbossem la prova de la unicitat del predual. Tot seguit, revisitem dues condicions conegudes que garanteixen la unicitat: ser (separablement) “L-embedded” i posseir la propietat (X). La part central del treball se centra en l’espai clàssic de les funcions holomorfes acotades al disc unitari. Després d’analitzar la prova d’Ando que estableix la unicitat del predual d’aquest espai, estenem el resultat d’Ando al cas d’una unió de subconjunts oberts, disjunts i simplement connexos, i explorem diverses estratègies per estendre’l al cas de funcions holomorfes acotades de diverses variables complexes, tot explicant per què la nostra aproximació per provar-ho resulta difícil.

Densitat d’hiperbolicitat en famílies de funcions racionals complexes

Francesc Timoner (UB)

En aquest treball, abordem el problema obert fonamental de si les funcions racionals hiperbòliques, aquelles per a les quals cada punt crític es troba a la conca d’un cicle d’atracció, són denses en l’espai de funcions racionals del mateix grau. Amb això, volem dir si qualsevol d’aquestes funcions es pot aproximar uniformement en conjunts compactes per funcions hiperbòliques. Conjecturalment, la resposta és “sí”, i això es coneix com la Conjectura de la Densitat d’Hiperbolicitat. Després de revisar eines clau de dinàmiques complexes com construccions de peces de trencaclosques, conjugacions quasi-conformals, coordenades de Böttcher i moviments holomorfs, introduïm funcions complexes com una extensió natural de funcions polinòmiques i discutim la seva rigidesa sota equivalència combinatòria. Centrant-nos en polinomis no renormalitzables sense punts periòdics neutres, reproduïm, clarifiquem i comprovem el resultat de Kozlovski–van Strien que aquests polinomis admeten aproximar funcions hiperbòliques construint funcions de caixa dinàmicament naturals i aplicant resultats topològics i de rigidesa. En conclusió, esbossarem com aquest marc, amb un ajust acurat, promet estendre’s més enllà del cas polinòmic per demostrar la densitat d’hiperbolicitat en famílies més àmplies com les funcions de Newton i McMullen, esbossant així un camí clar per a futurs avenços en dinàmiques complexes.

17:30 – 18:30

Teoremes de fusió i aplicacions

Luis Pablo Colmenar (UV-UPV)

En la teoria de grups finits, molts resultats importants s’expressen en termes de subgrups de Sylow i es demostren mitjançant els clàssics teoremes de Sylow. Davant d’aquest tipus de resultats, és natural preguntar-se si es poden estendre o generalitzar. Una direcció natural consisteix a substituir els subgrups de Sylow pels subgrups de Hall. En aquesta xerrada, explorarem com un conegut resultat de Wielandt pot esdevenir una eina potent en aquest context. Presentarem dues aplicacions principals: una relacionada amb el teorema de fusió d’Alperin, un resultat essencial en l’estudi de la fusió en grups finits, clau per abordar problemes de tipus local-global, i una altra centrada en un concepte menys conegut, el subnormalitzador, estudiat principalment per Carlo Casolo. Aquest darrer té connexions amb conjectures actuals en teoria de caràcters i ofereix una nova perspectiva sobre la interacció entre l’estructura del grup i la teoria de representacions.

Topologia dels Polinomis Complexos

Manuel García (UV-UPV)

Elements idempotents de l’àlgebra de grup

Vicent Miralles (UV-UPV)

Aquest treball se centra en l’estudi dels elements idempotents de l’àlgebra de grup, amb un èmfasi particular en els idempotents centralment primitius. Aquests elements són fonamentals atés que permeten descompondre l’àlgebra en blocs més simples. La importància dels idempotents centralment primitius radica en el fet que cadascun d’ells genera un d’aquests blocs, i més encara, són una base del centre de l’àlgebra, la qual cosa defineix per complet l’estructura d’aquesta.

L’objectiu principal és desenvolupar un mètode explícit i pràctic per a calcular aquests idempotents sobre cossos la característica dels quals no dividisca l’ordre del grup (que suposarem finit), i que sovint no són algebraicament tancats. Això no és tasca fàcil, ja que molts resultats de la teoria de representacions es recolzen en aquesta última propietat i no són vàlids en un context més general. Per aquesta raó, recorrem al concepte de cos d’escissió per a un grup, que generalitza al cos algebraicament tancat proporcionant un marc teòric que garanteix la validesa de molts resultats clàssics, entre ells, l’expressió d’aquests idempotents.

El mètode que desenvolupem, amb freqüència conegut com a descens de Galois, consisteix a aprofitar l’expressió dels idempotents centralment primitius de l’àlgebra de grup sobre un cos d’escissió. La idea és considerar una extensió del cos original que siga cos d’escissió per al grup, i en aquesta extensió, es fa actuar el grup de Galois de l’extensió sobre aquests idempotents. L’expressió d’aquests idempotents és coneguda atés que es defineixen sobre un cos d’escissió, així, es demostra que la suma de les òrbites que resulten d’aquesta acció ens proporcionen, finalment, els idempotents centralment primitius que busquem en el cos original. Aquest mètode per a obtindre aquests idempotents no és l’únic, però és notablement més senzill que altres mètodes.

El treball s’estructura en cinc capítols. El primer consisteix en una revisió de les bases teòriques d’àlgebres, mòduls, representacions de grups i caràcters. El segon introdueix les ferramentes necessàries, com el producte tensorial, per a formalitzar les extensions del cos. A més, s’estudien els cossos d’escissió per a un grup, demostrant la unicitat de la descomposició en components homogènies de l’àlgebra de grup associada a aquests cossos i l’expressió de les projeccions sobre aquestes components, estretament relacionades amb els idempotents centralment primitius. A continuació, el tercer capítol defineix els idempotents, explora la seua relació amb la descomposició de l’àlgebra de grup en ideals, així com amb les projeccions. En el quart capítol, es desenvolupa en profunditat el mètode de descens de Galois, el qual utilitza l’acció del grup de Galois sobre representacions, mòduls i els seus idempotents per a obtindre el resultat objectiu del treball. Finalment, el cinqué capítol mostra un exemple d’aplicació de tota la teoria desenvolupada per al cas concret d’un cos finit.

Sobre nilpotència en brides i l’equació de Yang-Baxter

Alberto Rodríguez (UV-UPV)

Les brides són una estructura algebraica que ens permet estudiar el conjunt de solucions no degenerades de l’equació de Yang-Baxter (EYB). Tota brida admet una solució no degenerada de l’EYB i, a l’inrevés, tota solució no degenerada de l’EYB queda controlada per la solució associada a una brida de la solució. D’aquesta manera, el problema de la classificació de les solucions no degenerades passa indubtablement per l’estudi estructural de les brides. Així, propietats algebraiques de brides es tradueixen en propietats de solucions i a l’inrevés. En concret, nocions de nilpotència de brides permeten caracteritzar el caràcter multipermutacional de les brides, una de les classes de solucions que rep més atenció en la teoria.

En aquest treball abordem els conceptes de nilpotència de brides i la seua relació amb les solucions. Analitzem les seues versions locals de p-nilpotència. En concret, presentem una contribució original a la teoria, introduint l’anàlisi de la p-nilpotència central d’una brida i el seu ideal p-Fitting associat.